HW10

B94611023 生機二 許惠善
本週我有上課

1.請思考速度與加速度的問題，當一桿以某特定點Ｍ等角速度迴轉時，其端點Ｐ之速度方向如何？ 其加速度方向如何？

由下圖可見，我們取特定點o作為迴轉時：

端點p的速度：

即為vp=ω×r，由內積的結果，其量值為ωr，方向則為切線方向，也就是垂直op這條線的方向。

端點p的加速度：

切線方向上，因為並無角加速度，故其切線方向並無加速度。然而在做迴轉的同時，有一法線加速度是朝內的，an=ω×(ω×r)，內積的結果，量值為(ω^2)r，方向則由o朝p方向。

然而，若是今天迴轉的中心不在端點O而是桿上任一點M，我們就要取該點M與P的距離作為新的r'，仍然適用於上列分析。 即vp'=ω×r'以及an'=ω×(ω×r')。其結果方向仍然與上述分析相同，唯量值改變。


若該特定點Ｍ復以等速水平運動，則同一端點Ｐ之速度與加速度方向會變為如何？

端點p的速度:

p受Vo影響，所以Vp=ω×r+Vo，其向量和在圖中所示為咖啡色線段，其水平分量為Vo+ωrcosθ，垂直分量為ωrsinθ

端點p的加速度：

不受Vo影響，an=ω×(ω×r)，內積的結果，量值為(ω^2)r，方向則由o朝p方向。

若Ｍ點同時也有加速度，則點Ｐ會有何變化？

P點的速度：
如前述所分析，不受ao所影響， Vp=ω×r+Vo，其水平分量為Vo+ωrcosθ，垂直分量為ωrsinθ

P點的加速度：
除原先an=ω×(ω×r)，然而整個ap要加上ao的加速度，所以ap=ao+an(rad/s^2)的和向量，如下圖粉紅色線段所示。
可分為垂直分量和水平分量。垂直分量=ω^2*rcosα，水平分量=ao+ω^2*rsinα


若以此推理四連桿的運動，則點Ｐ與Ｑ之速度與加速度方向會與桿一（固定桿）之兩端點之關係如何？與我們前面的作業分析結果有無共通之處？（參看第六章之四連桿機構之運動分析）

本題一開始我想用瞬心的觀念來解，然而後來想到加速度無法用順心的觀念解，故僅先列出瞬心的速度部分。


由圖上可見，若op桿以ω開始運動，則p的速度顯而易見的，速度垂直r1，然而也可知道q點速度必垂直r2。
而瞬心由做圖的方式，由pq兩點做延伸線（因恰分別垂直於r1,r2）而可求得Ic的位置。
接著求Vp：因o點以及IC速度皆為零，故Vp=r1*ω1=r1'*ω2
由上式我們可以求得ω2，再以Vq=r2'*ω2解出Vq

但求速度及加速度則必須去求出p、q間的關係。
首先，o及R兩點皆為固定點。所以可列出：
Vp=ω × r1
ap=αx r1＋ω×(ω×r1)
其為向量式，內積的結果Vp會垂直r1，然而ap分成兩部分，第一項為切線加速度，故垂直於r1，第二項由向量外積的結果，恰延r1指向o點，量值為ω^2×r1

計算Q點的速度與加速度，較為麻煩，必須考慮pq的相對關係。
Vq=Vp+ω2× rq/p
aq= ap＋α2x rq/p＋ω2× (ω2 × rq/p)

我們必須求出相對於P點的角速度及角加速度，才可求出Vq及Aq，其分析等同於前述單單op一桿且o點有速度及加速度的分析。故我們求出q相對於p的速度(即ω2× rq/p)及加速度(即α2x rq/p＋ω2× (ω2 × rq/p) )後，應再加上p點的速度及加速度才為所求。 （ω2應可用前述瞬心的求法得到Vq再帶回本式求ω2)

設有一運動之曲柄滑塊連桿組合，設滑塊之偏置量為零，且在水平方向移動，
試以此機構之曲桿長度及角度，以及連結桿之長度為輸入項，
利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時，六點瞬心之對應位置。
可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。

本題以drawslidlinks做更改為程式function [values]=drawsldIC(r,th1,th2,sigma,driver)
(僅加入IC部分，原連桿曲趕不做更動，故在此指標住IC部分的註解，並將程式碼更動部分套咖啡色)

程式碼如下：

function [values]=drawsldIC(r,th1,th2,sigma,driver)
%function drawlinks(r,th1,th2,sigma,driver)
%draw the positions of four-bar links
%call f4bar funcion
%r: row vector for four links
%th1: frame angle
%th2: crank angle or couple angle
%sigma: assembly mode
%driver: 0 for crank, 1 for coupler
%
% Example:
% drawsldlinks([1 2 3 4],0,60,1,0)
%clf;
[values b]=sldlink(r,th1,th2,10,0,sigma,driver);
rr=values(:,1)
rr(3)=rr(3)+rr(2);
rx=real(rr);
rx(4)=0;
ry=imag(rr);
ry(4)=0;


if rx(1)>0
theta2=th2;
else
theta2=180-th2;
end;
theta3=-values(3,2);

%瞬心IC13由課本5-22可看出IC13 IC12 IC34組成一三角形
%所以IC13的x座標即為IC34
%y座標則可由值角三角形取底邊*tan(theta2)可得
IC13x=rx(1);
IC13y=rx(1)*tand(theta2);


%瞬心IC24由課本5-22可看出IC13 IC12 IC34組成另一三角形
%所以IC24的x座標即為IC12=0
%y座標則可由值角三角形取底邊*tan(theta3)可得
IC24x=0;
IC24y=rx(1)*tand(theta3);


if b==1 plot([0 rx(1)],[0 0],'k-','LineWidth',4);
%ground line
hold on;
plot([0 rx(1)],[0 ry(1)],'g-','LineWidth',1.5);


if driver==0
plot([0 rx(2)],[0 ry(2)],'b-','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) rx(3)],[ry(2) ry(3)],'r-','LineWidth',2);
else
plot([0 rx(2)],[0 ry(2)],'r-','LineWidth',2);
plot([rx(2) rx(3)],[ry(2) ry(3)],'b-','LineWidth',1.5);
end

%原程式碼部分不動，但另外整理標出瞬心的部分

%標出IC13
plot(IC13x,IC13y,'ms');
text(IC13x+1,IC13y,'IC13');
%此部分是在畫出與IC13相關的直角三角形軌跡
plot([rx(1) IC13x],[ry(1) IC13y],'c:','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) IC13x],[ry(2) IC13y],'c:','LineWidth',1.5);


%標出IC24
plot(IC24x,IC24y,'ms');
text(IC24x+1,IC24y,'IC24');
%此部分是在畫出與IC24相關的直角三角形軌跡
plot([0 IC24x],[0 IC24y],'c:','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) IC24x],[ry(2) IC24y],'c:','LineWidth',1.5);


plot([rx(1) rx(3)],[ry(1) ry(3)],'k-');
plot(rx,ry,'bo');


%IC12與o重合 在此加註
text(0,0,' O IC12');
text(rx(1),ry(1),' R');

%IC23與p重合 IC34與P重合 在此加註
text(rx(2),ry(2),' P IC23');
text(rx(3),ry(3),' Q IC34');
length=max(abs(values(2:3,1)));
len=.20*length;ww=.15*length;
[coords] = sldbox(len,ww,rx(3),ry(3),th1);
plot(coords(:,1),coords(:,2),'r-','LineWidth',2);
[coords] = sldbox(len*3,0,rx(3),ry(3)-ww/2,th1);
plot(coords(:,1),coords(:,2),'r:','LineWidth',1.5);
else
fprintf('Combination of links fails at degrees %6.1f\n',th2);
end
axis equal
axis ([-100 100 -100 100])

grid on

我們以drawslidIC做動畫，已觀察IC的位置
呼叫為：
for i=0:10:360
drawsldIC([0 33 38 0],0,i,1,0)
pause(0.1)
clf
end;
動畫如下：


[分析]
首先，滑塊機構中IC 12、23、34、14為四個基本瞬心，然而本機構中IC14在無限遠處，所以我不標出。

又瞬心IC12固定在O點，恆不動

瞬心IC24及13隨PQ點改變
我們可以觀察驅動桿的角度的改變造成IC24及13的改變
0＜theta2＜90:
IC24及IC13在OR上方
90＜theta2＜180:
IC24及IC13分別位於OR兩側(IC24在OR上方，IC13在OR下方)
180＜theta2＜270:
IC24及IC13分別位於OR兩側(IC24在OR下方，IC13在OR上方)
270＜theta2＜360:
IC24及IC13在OR下方