HW10

B94611023 生機二 許惠善
本週我有上課

1.請思考速度與加速度的問題，當一桿以某特定點Ｍ等角速度迴轉時，其端點Ｐ之速度方向如何？ 其加速度方向如何？

由下圖可見，我們取特定點o作為迴轉時：

端點p的速度：

即為vp=ω×r，由內積的結果，其量值為ωr，方向則為切線方向，也就是垂直op這條線的方向。

端點p的加速度：

切線方向上，因為並無角加速度，故其切線方向並無加速度。然而在做迴轉的同時，有一法線加速度是朝內的，an=ω×(ω×r)，內積的結果，量值為(ω^2)r，方向則由o朝p方向。

然而，若是今天迴轉的中心不在端點O而是桿上任一點M，我們就要取該點M與P的距離作為新的r'，仍然適用於上列分析。 即vp'=ω×r'以及an'=ω×(ω×r')。其結果方向仍然與上述分析相同，唯量值改變。


若該特定點Ｍ復以等速水平運動，則同一端點Ｐ之速度與加速度方向會變為如何？

端點p的速度:

p受Vo影響，所以Vp=ω×r+Vo，其向量和在圖中所示為咖啡色線段，其水平分量為Vo+ωrcosθ，垂直分量為ωrsinθ

端點p的加速度：

不受Vo影響，an=ω×(ω×r)，內積的結果，量值為(ω^2)r，方向則由o朝p方向。

若Ｍ點同時也有加速度，則點Ｐ會有何變化？

P點的速度：
如前述所分析，不受ao所影響， Vp=ω×r+Vo，其水平分量為Vo+ωrcosθ，垂直分量為ωrsinθ

P點的加速度：
除原先an=ω×(ω×r)，然而整個ap要加上ao的加速度，所以ap=ao+an(rad/s^2)的和向量，如下圖粉紅色線段所示。
可分為垂直分量和水平分量。垂直分量=ω^2*rcosα，水平分量=ao+ω^2*rsinα


若以此推理四連桿的運動，則點Ｐ與Ｑ之速度與加速度方向會與桿一（固定桿）之兩端點之關係如何？與我們前面的作業分析結果有無共通之處？（參看第六章之四連桿機構之運動分析）

本題一開始我想用瞬心的觀念來解，然而後來想到加速度無法用順心的觀念解，故僅先列出瞬心的速度部分。


由圖上可見，若op桿以ω開始運動，則p的速度顯而易見的，速度垂直r1，然而也可知道q點速度必垂直r2。
而瞬心由做圖的方式，由pq兩點做延伸線（因恰分別垂直於r1,r2）而可求得Ic的位置。
接著求Vp：因o點以及IC速度皆為零，故Vp=r1*ω1=r1'*ω2
由上式我們可以求得ω2，再以Vq=r2'*ω2解出Vq

但求速度及加速度則必須去求出p、q間的關係。
首先，o及R兩點皆為固定點。所以可列出：
Vp=ω × r1
ap=αx r1＋ω×(ω×r1)
其為向量式，內積的結果Vp會垂直r1，然而ap分成兩部分，第一項為切線加速度，故垂直於r1，第二項由向量外積的結果，恰延r1指向o點，量值為ω^2×r1

計算Q點的速度與加速度，較為麻煩，必須考慮pq的相對關係。
Vq=Vp+ω2× rq/p
aq= ap＋α2x rq/p＋ω2× (ω2 × rq/p)

我們必須求出相對於P點的角速度及角加速度，才可求出Vq及Aq，其分析等同於前述單單op一桿且o點有速度及加速度的分析。故我們求出q相對於p的速度(即ω2× rq/p)及加速度(即α2x rq/p＋ω2× (ω2 × rq/p) )後，應再加上p點的速度及加速度才為所求。 （ω2應可用前述瞬心的求法得到Vq再帶回本式求ω2)

設有一運動之曲柄滑塊連桿組合，設滑塊之偏置量為零，且在水平方向移動，
試以此機構之曲桿長度及角度，以及連結桿之長度為輸入項，
利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時，六點瞬心之對應位置。
可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。

本題以drawslidlinks做更改為程式function [values]=drawsldIC(r,th1,th2,sigma,driver)
(僅加入IC部分，原連桿曲趕不做更動，故在此指標住IC部分的註解，並將程式碼更動部分套咖啡色)

程式碼如下：

function [values]=drawsldIC(r,th1,th2,sigma,driver)
%function drawlinks(r,th1,th2,sigma,driver)
%draw the positions of four-bar links
%call f4bar funcion
%r: row vector for four links
%th1: frame angle
%th2: crank angle or couple angle
%sigma: assembly mode
%driver: 0 for crank, 1 for coupler
%
% Example:
% drawsldlinks([1 2 3 4],0,60,1,0)
%clf;
[values b]=sldlink(r,th1,th2,10,0,sigma,driver);
rr=values(:,1)
rr(3)=rr(3)+rr(2);
rx=real(rr);
rx(4)=0;
ry=imag(rr);
ry(4)=0;


if rx(1)>0
theta2=th2;
else
theta2=180-th2;
end;
theta3=-values(3,2);

%瞬心IC13由課本5-22可看出IC13 IC12 IC34組成一三角形
%所以IC13的x座標即為IC34
%y座標則可由值角三角形取底邊*tan(theta2)可得
IC13x=rx(1);
IC13y=rx(1)*tand(theta2);


%瞬心IC24由課本5-22可看出IC13 IC12 IC34組成另一三角形
%所以IC24的x座標即為IC12=0
%y座標則可由值角三角形取底邊*tan(theta3)可得
IC24x=0;
IC24y=rx(1)*tand(theta3);


if b==1 plot([0 rx(1)],[0 0],'k-','LineWidth',4);
%ground line
hold on;
plot([0 rx(1)],[0 ry(1)],'g-','LineWidth',1.5);


if driver==0
plot([0 rx(2)],[0 ry(2)],'b-','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) rx(3)],[ry(2) ry(3)],'r-','LineWidth',2);
else
plot([0 rx(2)],[0 ry(2)],'r-','LineWidth',2);
plot([rx(2) rx(3)],[ry(2) ry(3)],'b-','LineWidth',1.5);
end

%原程式碼部分不動，但另外整理標出瞬心的部分

%標出IC13
plot(IC13x,IC13y,'ms');
text(IC13x+1,IC13y,'IC13');
%此部分是在畫出與IC13相關的直角三角形軌跡
plot([rx(1) IC13x],[ry(1) IC13y],'c:','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) IC13x],[ry(2) IC13y],'c:','LineWidth',1.5);


%標出IC24
plot(IC24x,IC24y,'ms');
text(IC24x+1,IC24y,'IC24');
%此部分是在畫出與IC24相關的直角三角形軌跡
plot([0 IC24x],[0 IC24y],'c:','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) IC24x],[ry(2) IC24y],'c:','LineWidth',1.5);


plot([rx(1) rx(3)],[ry(1) ry(3)],'k-');
plot(rx,ry,'bo');


%IC12與o重合 在此加註
text(0,0,' O IC12');
text(rx(1),ry(1),' R');

%IC23與p重合 IC34與P重合 在此加註
text(rx(2),ry(2),' P IC23');
text(rx(3),ry(3),' Q IC34');
length=max(abs(values(2:3,1)));
len=.20*length;ww=.15*length;
[coords] = sldbox(len,ww,rx(3),ry(3),th1);
plot(coords(:,1),coords(:,2),'r-','LineWidth',2);
[coords] = sldbox(len*3,0,rx(3),ry(3)-ww/2,th1);
plot(coords(:,1),coords(:,2),'r:','LineWidth',1.5);
else
fprintf('Combination of links fails at degrees %6.1f\n',th2);
end
axis equal
axis ([-100 100 -100 100])

grid on

我們以drawslidIC做動畫，已觀察IC的位置
呼叫為：
for i=0:10:360
drawsldIC([0 33 38 0],0,i,1,0)
pause(0.1)
clf
end;
動畫如下：


[分析]
首先，滑塊機構中IC 12、23、34、14為四個基本瞬心，然而本機構中IC14在無限遠處，所以我不標出。

又瞬心IC12固定在O點，恆不動

瞬心IC24及13隨PQ點改變
我們可以觀察驅動桿的角度的改變造成IC24及13的改變
0＜theta2＜90:
IC24及IC13在OR上方
90＜theta2＜180:
IC24及IC13分別位於OR兩側(IC24在OR上方，IC13在OR下方)
180＜theta2＜270:
IC24及IC13分別位於OR兩側(IC24在OR下方，IC13在OR上方)
270＜theta2＜360:
IC24及IC13在OR下方

HW9

B94611023 生機二 許惠善


我本週(5/3)有來上課。
詳細作業請參考我的部落格



本次作業我以課本的程式為基礎來作為分析。自己再寫了一支程式draw_slider，用來讓使用者將RLe三值輸入，程式就會自動跑其極限位置的動畫。

運用到的課本程式是slider_limit()以及slider_solve()，基本上對於slider_limit()這支程式碼並無做異動，所以我只放在作業最後供各位同學參考，可以試著在自己電腦跑跑看。

然而slider_solve我對其做了少許變更，可以由原本的程式看出，利用基本的三角關係，我們求出了滑塊所可移動的距離，然而以A點為座標原點的話，這個滑塊的移動距離其實就是其在座標平面上的x值，故在此利用座標x,y值皆求出來，以做圖形。


程碼如下式如下：

(1)draw_slider()
function draw_slider(R,L,e)

%將輸入帶入slider_limit()中計算，先求出其極限位置
%藉此我們就可以做出滑塊的運動動畫
[s theta1 theta2]=slider_limit(R,L,e)

%theta值只能介於theta1 theta2之間，所以for迴圈的上下線是theta1,theta2

for theta=theta1:1:theta2

%所以用thetax角做出一迴圈
%讓theta介於由slider_limit()所求出的兩個極限角中間
%然而不寫在同個for迴圈內，是因為希望B的軌跡可以一直就在圖上
for thetax=theta1:1:theta2%畫出驅動桿B點可走的軌跡

plot(R.*cosd(thetax),R.*sind(thetax),'r-','LineWidth',2)
axis ([-2 70 -2 35]);
grid on;
hold on;
end
%開始化滑塊運動的動畫，利用做更改後的slider_solve()做動畫
[d,theta3]=slider_solve(theta,R,L,e)
pause(0.01);
clf
end

(2)slider_solve()

function [d,theta3]=slider_solve(theta2,R,L,e,mode)
if nargin<5 mode="0;" d2g="pi/180;" theta="theta2*d2g;" cc="(e-R.*sin(theta))./L;">=0
theta3=asin(cc);
else
theta3=asin(-cc)*pi;
end
%由課本p 4-37圖4-21可見A B C三點的三角關係
d=L.*cos(theta3)+R.*cos(theta);


% B就是以A點為圓心，轉動theta角
text(0,0,'A')
hold on;
Bx=R.*cos(theta)
By=R.*sin(theta)
text(Bx,By,'B');
hold on;
plot([0 Bx],[0 By],'b-','LineWidth',2)
hold on;
plot(Bx,By,'ro');
hold on;

% C就是以B點為圓心，轉動theta3角
%但要記得我們一開始是以A點作為座標平面的原點
%所以別忘了把他加上Bx,By值做平移
%此處Cx其實就等於d，但因d為老師原有的程式，表示滑塊的水平距離，在此不做刪除
Cx=Bx+L.*cos(theta3)
Cy=By+L.*sin(theta3)
text(Cx,Cy,'C');
plot([Bx Cx],[By Cy],'k-','LineWidth',2)
hold on;
plot(Cx,Cy,'ro')
hold on;

%最後將theta3換回degree
theta3=theta3/d2g;


呼叫執行：

%R=10+23=33
%L=R+5=38
%e=10
draw_slider(33,38,10)
影片如下：


[附一]slider_limit()
function [s,theta21,theta22]=slider_limit(R,L,e)
d2g=pi/180;
th1=asin(e./(R+L));
th2=asin(e./abs(R-L));
s=(R+L).*cos(th1)-abs(R-L).*cos(th2);
theta21=th1/d2g;
theta22=th2/d2g;

HW8

問題一：設桿2角度theta2=45度時，求各點之位置、速度與加速度為何？

本題利用f4bar函數執行即可

呼叫為：f4bar([4 3 3 5],0,45,10,0,-1,0)

桿長分別為[4 3 3 5]
由於第一桿是水平桿，所以theta1=0
第二桿由題目限定為theta2=45
角速度為td2=10(rad/s)
角加速度為tdd2=0
因為為閉合型，所以mode組合模數=-1
由第二桿驅動，所以linkdive選擇0


以下為matlab執行過程：

>> [val,form]=f4bar([3 2 4 2],0,60,10,0,-1,0)

val =

  1.0e+002 *

  Columns 1 through 4

   0.0300                  0                  0                  0       
   0.0100 + 0.0173i   0.6000             0.1000                  0       
   0.0387 - 0.0102i  -0.1475             0.0541            -1.2758       
   0.0187 + 0.0071i   0.2091             0.1655            -2.3627       

  Columns 5 through 6

   0.1000 + 0.1732i   0.0100 + 0.0173i
   0.3092 + 0.1181i   0.0487 + 0.0071i
  -1.0000 - 1.7321i        0       
  -3.4302 - 6.3693i        0       

%form = 1表示可以構成四連桿。
form =

     1
%跑出來的答案仍然為複數形式，所以利用abs去求各項的值

%第一項為各桿向量值
>> abs(val(:,1))

ans =

     4
     3
     3
     5

%第二項為各桿之角度
%第二桿符合題目所要求的45度
>> abs(val(:,2))

ans =

         0
   45.0000
   69.4856
   99.5246

%第三項為各桿之角速度
%第二桿符合題目所要求的10 rad/s
>> abs(val(:,3))

ans =

         0
   10.0000
   16.2681
    4.9677

%各桿之角加速度
>> abs(val(:,4))

ans =

         0
         0
  491.4428
  383.6120

>> abs(val(:,5))

ans =


    0.0300  %此為Q點的線速度
    0.0248  %此為P點的線速度
    0.3000  %此為Q點的線加速度
    1.9220  %此為P點的線加速度




問題二：繪出此四連桿之相關位置及標明各點之速度方向及大小（以程式為之)。

本題利用drawlinks程式執行即可

呼叫為
>> drawlinks([4 3 3 5],0,45,-1,0)
桿長分別為[4 3 3 5]
由於第一桿是水平桿，所以th1=0
第二桿由題目限定為th2=45
因為為閉合型，所以mode組合模數=-1
由第二桿驅動，所以linkdive選擇0


唯需更改原drawlinks程式碼，將題目所要求的速度及加速度標明上去
其中V及a由上題所求代入

程式碼如下：

 %取Vp的實部做v方向的x座標(對原點)
    Ap=real(values(1,5))
 %取Vp的虛部做v方向的y座標(對原點)
    Bp=image(values(1,5))

 %取Vq的實部做v方向的x座標(對原點)
    Aq=real(values(2,5))
 %取Vq的虛部做v方向的y座標(對原點)
    Bq=image(values(2,5))

 %因為此向量太常，所以稍微做修正除以三百，圖形才會清楚
 %並且必須平移至P點及Q點
            Ap=Ap/300+rx(2)
            Bp=Bp/300+ry(2)
            Aq=Aq/300+rx(3)
            Bq=Bq/300+ry(3)

 %標出速度的方向，並加註其速度以及加速度
            plot(Ap,Bp,'o')
            text(Ap,Bp,' Vp=0.0248  ap=1.9220 ');
            plot([rx(2) Ap],[ry(2) Bp]);
            plot(Aq,Bq,'o')
            text(Aq,Bq,' Vq=0.0300  aq=0.3000 ');
            plot([rx(3) Aq],[ry(3) Bq]);
圖片如下：


問題三：當桿２迴轉時，求出此組四連桿之限制角度，並繪出其位置（以程式為之）。
∵4+3≦3+5，4-3≦3-5。

∴無法做完整迴轉，必定有限制
  其中 θmin=cos-1{[r12+r22-(r3-r4)2]/[2r1r2]}=28.9550
   θmax=2π-cos-1{[r12+r22-(r3-r4)2]/[2r1r2]}=331.0450
呼叫  drawlimits([4 3 3 5],0,-1,0)

得圖如下:




問題四：設theta2=[0:20:360]，試繪出此組四連桿之重疊影像，解釋為何有些沒有值。

程式碼如下：
>>for i=0:20:360
   drawlinks([4 3 3 5],0,i,-1,0)
   hold on

  end

圖如下：

其中沒有值的部份可由第三題看出，其以到達極限點後就無法再繼續旋轉，若把這張圖以第五題的動畫方式來觀察，更為明顯。


問題五：若將問題三考慮在內，只在可迴轉的範圍內迴轉，請問你能讓此組四連桿作成動畫方式迴轉嗎？

利用講義中 move_4path2，body，draw4links，f4limits函數即可完成

呼叫方式如下：

move_4paths([4 3 3 5],0,0,3,0,10,0,1,0,4,150)
%r取[4 3 3 5]
%本題中r6 th6皆等於0
%nlink取3
%th1由題意為0
%td2=10
%tdd2=0
%總共做四次運動
%分割成150個片段

影片如下：